I. Introducción
Los fractales son objetos matemáticos que presentan propiedades de autosimilitud a diferentes escalas. Esto significa que, al ampliar o reducir una figura fractal, cada una de sus partes se asemeja mucho al conjunto; es decir, patrones o estructuras geométricas similares se repiten a distintos niveles de ampliación (véanse los ejemplos de fractales en la Figura 1). La mayoría de los fractales tienen formas intrincadas, detalladas e infinitamente complejas.
figura 1
El concepto de fractales fue introducido por el matemático Benoit B. Mandelbrot en la década de 1970, aunque los orígenes de la geometría fractal se remontan a los trabajos anteriores de muchos matemáticos, como Cantor (1870), von Koch (1904), Sierpinski (1915), Julia (1918), Fatou (1926) y Richardson (1953).
Benoit B. Mandelbrot estudió la relación entre los fractales y la naturaleza, introduciendo nuevos tipos de fractales para simular estructuras más complejas, como árboles, montañas y costas. Acuñó el término «fractal» a partir del adjetivo latino «fractus», que significa «roto» o «fracturado», es decir, compuesto de piezas rotas o irregulares, para describir formas geométricas irregulares y fragmentadas que no pueden clasificarse mediante la geometría euclidiana tradicional. Además, desarrolló modelos matemáticos y algoritmos para generar y estudiar fractales, lo que condujo a la creación del famoso conjunto de Mandelbrot, que probablemente sea la forma fractal más famosa y visualmente fascinante, con patrones complejos que se repiten infinitamente (véase la figura 1d).
El trabajo de Mandelbrot no solo ha tenido un impacto en las matemáticas, sino que también tiene aplicaciones en diversos campos como la física, los gráficos por computadora, la biología, la economía y el arte. De hecho, gracias a su capacidad para modelar y representar estructuras complejas y autosimilares, los fractales tienen numerosas aplicaciones innovadoras en diversos campos. Por ejemplo, se han utilizado ampliamente en las siguientes áreas de aplicación, que son solo algunos ejemplos de su amplia aplicación:
1. Gráficos y animación por computadora, que generan paisajes naturales, árboles, nubes y texturas realistas y visualmente atractivos;
2. Tecnología de compresión de datos para reducir el tamaño de los archivos digitales;
3. Procesamiento de imágenes y señales, extracción de características de las imágenes, detección de patrones y provisión de métodos eficaces de compresión y reconstrucción de imágenes;
4. Biología, que describe el crecimiento de las plantas y la organización de las neuronas en el cerebro;
5. Teoría de antenas y metamateriales, diseño de antenas compactas/multibanda y metasuperficies innovadoras.
Actualmente, la geometría fractal sigue encontrando usos nuevos e innovadores en diversas disciplinas científicas, artísticas y tecnológicas.
En tecnología electromagnética (EM), las formas fractales son muy útiles para aplicaciones que requieren miniaturización, desde antenas hasta metamateriales y superficies selectivas en frecuencia (FSS). El uso de geometría fractal en antenas convencionales puede aumentar su longitud eléctrica, reduciendo así el tamaño total de la estructura resonante. Además, la naturaleza autosimilar de las formas fractales las hace ideales para la creación de estructuras resonantes multibanda o de banda ancha. Las capacidades de miniaturización inherentes a los fractales son particularmente atractivas para el diseño de reflectarrays, antenas de matriz en fase, absorbedores de metamateriales y metasuperficies para diversas aplicaciones. De hecho, el uso de elementos de matriz muy pequeños puede aportar varias ventajas, como la reducción del acoplamiento mutuo o la posibilidad de trabajar con matrices con un espaciado entre elementos muy pequeño, lo que garantiza un buen rendimiento de escaneo y mayores niveles de estabilidad angular.
Por las razones antes mencionadas, las antenas fractales y las metasuperficies representan dos áreas de investigación fascinantes en el campo del electromagnetismo que han atraído mucha atención en los últimos años. Ambos conceptos ofrecen formas únicas de manipular y controlar las ondas electromagnéticas, con una amplia gama de aplicaciones en comunicaciones inalámbricas, sistemas de radar y sensores. Sus propiedades de autosimilitud les permiten ser de tamaño reducido sin comprometer su excelente respuesta electromagnética. Esta compacidad resulta particularmente ventajosa en aplicaciones con limitaciones de espacio, como dispositivos móviles, etiquetas RFID y sistemas aeroespaciales.
El uso de antenas fractales y metasuperficies tiene el potencial de mejorar significativamente las comunicaciones inalámbricas, los sistemas de imagen y los sistemas de radar, ya que permiten la creación de dispositivos compactos de alto rendimiento con funcionalidades mejoradas. Además, la geometría fractal se utiliza cada vez más en el diseño de sensores de microondas para el diagnóstico de materiales, debido a su capacidad para operar en múltiples bandas de frecuencia y su miniaturización. La investigación en curso en estas áreas continúa explorando nuevos diseños, materiales y técnicas de fabricación para aprovechar todo su potencial.
Este artículo tiene como objetivo revisar el progreso en la investigación y aplicación de antenas y metasuperficies fractales, y comparar las antenas y metasuperficies fractales existentes, destacando sus ventajas y limitaciones. Finalmente, se presenta un análisis exhaustivo de reflectarrays y unidades de metamateriales innovadoras, y se discuten los desafíos y los desarrollos futuros de estas estructuras electromagnéticas.
2. FractalAntenaElementos
El concepto general de fractales puede utilizarse para diseñar elementos de antena innovadores que ofrecen un rendimiento superior al de las antenas convencionales. Los elementos de antena fractales pueden ser compactos y contar con capacidades multibanda o de banda ancha.
El diseño de antenas fractales implica la repetición de patrones geométricos específicos a diferentes escalas dentro de la estructura de la antena. Este patrón autosimilar permite aumentar la longitud total de la antena en un espacio físico limitado. Además, los radiadores fractales pueden alcanzar múltiples bandas, ya que diferentes partes de la antena son similares entre sí a distintas escalas. Por lo tanto, los elementos de antena fractales pueden ser compactos y multibanda, proporcionando una cobertura de frecuencia más amplia que las antenas convencionales.
El concepto de antenas fractales se remonta a finales de la década de 1980. En 1986, Kim y Jaggard demostraron la aplicación de la autosimilitud fractal en la síntesis de conjuntos de antenas.
En 1988, el físico Nathan Cohen construyó la primera antena de elementos fractales del mundo. Propuso que, al incorporar geometría autosimilar en la estructura de la antena, se podría mejorar su rendimiento y su capacidad de miniaturización. En 1995, Cohen cofundó Fractal Antenna Systems Inc., que comenzó a ofrecer las primeras soluciones comerciales de antenas basadas en fractales del mundo.
A mediados de la década de 1990, Puente et al. demostraron las capacidades multibanda de los fractales utilizando el monopolo y el dipolo de Sierpinski.
Desde los trabajos de Cohen y Puente, las ventajas inherentes de las antenas fractales han despertado un gran interés entre investigadores e ingenieros del sector de las telecomunicaciones, lo que ha impulsado una mayor exploración y desarrollo de la tecnología de antenas fractales.
Actualmente, las antenas fractales se utilizan ampliamente en sistemas de comunicación inalámbrica, como teléfonos móviles, routers Wi-Fi y comunicaciones por satélite. De hecho, son pequeñas, multibanda y altamente eficientes, lo que las hace idóneas para una gran variedad de dispositivos y redes inalámbricas.
Las siguientes figuras muestran algunas antenas fractales basadas en formas fractales bien conocidas, que son solo algunos ejemplos de las diversas configuraciones que se discuten en la literatura.
Específicamente, la Figura 2a muestra el monopolo de Sierpinski propuesto en Puente, capaz de operar en múltiples bandas. El triángulo de Sierpinski se forma restando el triángulo central invertido del triángulo principal, como se muestra en las Figuras 1b y 2a. Este proceso deja tres triángulos iguales en la estructura, cada uno con un lado de la mitad de la longitud del triángulo inicial (véase la Figura 1b). El mismo procedimiento de resta se puede repetir para los triángulos restantes. Por lo tanto, cada una de sus tres partes principales es exactamente igual al objeto completo, pero en el doble de proporción, y así sucesivamente. Debido a estas similitudes especiales, Sierpinski puede proporcionar múltiples bandas de frecuencia porque las diferentes partes de la antena son similares entre sí a diferentes escalas. Como se muestra en la Figura 2, el monopolo de Sierpinski propuesto opera en 5 bandas. Se puede observar que cada una de las cinco subestructuras (estructuras circulares) en la Figura 2a es una versión a escala de la estructura completa, proporcionando así cinco bandas de frecuencia operativas diferentes, como se muestra en el coeficiente de reflexión de entrada en la Figura 2b. La figura también muestra los parámetros relacionados con cada banda de frecuencia, incluyendo el valor de frecuencia fn (1 ≤ n ≤ 5) en el valor mínimo de la pérdida de retorno de entrada medida (Lr), el ancho de banda relativo (Bwidth) y la relación de frecuencia entre dos bandas de frecuencia adyacentes (δ = fn + 1/fn). La figura 2b muestra que las bandas de los monopolos de Sierpinski están espaciadas logarítmicamente de forma periódica por un factor de 2 (δ ≅ 2), lo que corresponde al mismo factor de escala presente en estructuras similares de forma fractal.
figura 2
La Figura 3a muestra una pequeña antena de hilo largo basada en la curva fractal de Koch. Esta antena se propone para mostrar cómo aprovechar las propiedades de llenado del espacio de las formas fractales para diseñar antenas pequeñas. De hecho, reducir el tamaño de las antenas es el objetivo final de un gran número de aplicaciones, especialmente aquellas que involucran terminales móviles. El monopolo de Koch se crea utilizando el método de construcción fractal que se muestra en la Figura 3a. La iteración inicial K0 es un monopolo recto. La siguiente iteración K1 se obtiene aplicando una transformación de similitud a K0, que incluye un escalado de un tercio y una rotación de 0°, 60°, -60° y 0°, respectivamente. Este proceso se repite iterativamente para obtener los elementos subsiguientes Ki (2 ≤ i ≤ 5). La Figura 3a muestra una versión de cinco iteraciones del monopolo de Koch (es decir, K5) con una altura h igual a 6 cm, pero la longitud total viene dada por la fórmula l = h ·(4/3) 5 = 25,3 cm. Se han fabricado cinco antenas que corresponden a las cinco primeras iteraciones de la curva de Koch (véase la figura 3a). Tanto los experimentos como los datos demuestran que el monopolo fractal de Koch puede mejorar el rendimiento del monopolo tradicional (véase la figura 3b). Esto sugiere que podría ser posible miniaturizar las antenas fractales, permitiendo que se adapten a volúmenes más pequeños manteniendo un rendimiento eficiente.
figura 3
La figura 4a muestra una antena fractal basada en un conjunto de Cantor, que se utiliza para diseñar una antena de banda ancha para aplicaciones de recolección de energía. La propiedad única de las antenas fractales, que introduce múltiples resonancias adyacentes, se aprovecha para proporcionar un ancho de banda mayor que el de las antenas convencionales. Como se muestra en la figura 1a, el diseño del conjunto fractal de Cantor es muy simple: la línea recta inicial se copia y se divide en tres segmentos iguales, de los cuales se elimina el segmento central; luego, el mismo proceso se aplica iterativamente a los segmentos recién generados. Los pasos de iteración fractal se repiten hasta lograr un ancho de banda (BW) de la antena de 0,8 a 2,2 GHz (es decir, 98 % BW). La figura 4 muestra una fotografía del prototipo de antena realizado (figura 4a) y su coeficiente de reflexión de entrada (figura 4b).
figura 4
La figura 5 muestra más ejemplos de antenas fractales, incluyendo una antena monopolo basada en la curva de Hilbert, una antena de parche microstrip basada en Mandelbrot y un parche fractal de isla de Koch (o "copo de nieve").
figura 5
Finalmente, la Figura 6 muestra diferentes disposiciones fractales de elementos de la matriz, incluyendo matrices planas de alfombra de Sierpinski, matrices de anillo de Cantor, matrices lineales de Cantor y árboles fractales. Estas disposiciones son útiles para generar matrices dispersas y/o lograr un rendimiento multibanda.
figura 6
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Fecha de publicación: 26 de julio de 2024
